türev ve integral

türev ve integral, matematiğin en önemli konseptlerinden ikisidir. en sevdiğim matematik konularıdır.günümüzde okullarda (liselerde) bu ikili çok yüzeysel bir şekilde ve çoğunlukla tamamen ezbere dayalı olarak anlatılmaktadır. özellikle de bu kavramların ne anlama geldiği öğrenciye anlatılmadan, sadece nasıl çözüleceği üzerinden anlatım yapılmaktadır. örneğin türev için "sayının üssünü katsayı olarak önüne al ve üssü 1 azalt" denmekte, integrali anlatmak içinse "üssü 1 arttırıp, aynı sayıyı payda olarak sayının altına yaz" gibi kalıp halinde ve algılamanın imkansız olduğu bir biçimde anlatılmaktadır.
aslında iki kavram da, öylesine temel ve öylesine basittir ki... buna rağmen, matematiğin, modern bilimin ve mühendisliğin kalbinde yatan kavramlardır. türev ve integrali binbir farklı şekilde anlatmak mümkündür, fakat temel düzeyde anlamak için kısa bir tanım yapacağız: türev, herhangi bir zaman aralığındaki değişim miktardır. yani "değişim"i ölçmek için kullanılır. az sonra örneklendireceğiz. integral ise, belli bir aralıktaki toplam değişimi, ya da biriken değişim miktarını, ifade etmek için kullanılır. türev ve integrali anlamak için, integrali çözme yöntemleri bir kenara bırakılarak, hayattan örneklere bakılabilir.

örneğin tavanınız akıtıyorsa ve etrafı su götürmemesi için akıtan noktanın hizasına büyük bir kova koyduysanız, kova içerisindeki su damla damla birikecektir. birim zamanda (örneğin 1 saatte) kovadaki suyun hacmindeki değişim miktarı türev ile hesaplanır. çok basit tabiriyle, hacim miktarındaki değişimin, zamandaki değişime oranıdır. tabii ki bu hesabın bu şekilde kolayca anlaşılabilmesi için, tavanın düzenli olarak akıttığı varsayılmalıdır. eğer ki tavan bir hızlı, bir yavaş akıtıyorsa, o zaman çeşitli yöntemlerle bu akıtma davranışı matematiksel olarak tanımlanmalı ve ondan sonra belirli bir zamandaki değişim hesaplanmalıdır. fakat basit bir şekilde düşünecek olursak, her saniye 1 damla damlatan bir tavanın kovayı doldurma hızı, türevle hesaplanır. bu tür çok basit işler için yapılan işlemlerde türev, basit çarpım ve toplam işlemlerine dönüşür. bu sebeple türev olarak düşünemize gerek kalmaz; ancak değişim olan her şeyin özü, türeve dayanmaktadır. integral ise, belli bir değerin, belli bir diğer değere göre değişiminin toplamıdır. örneğin damlatan tavanımızın hızının giderek arttığını düşünelim. 24 saatlik bir süre zarfında, kaç kova dolusu su birikeceğini, integral hesabıyla bulabiliriz.
bu noktada, okullarda kalıp halinde öğretilen bir diğer nokta da anlaşılır hale gelebilir. lisede hep şuna benzer bir şey söylerler: "türev, grafikte belli bir noktaya çizilen teğet çizgisinin eğimiyle ifade edilir." neden? türevin anlamını hatırlayın: değişim! elimizdeki grafik (ya da "geometrik eğri"), tıpkı yukarıda anlattığımız "mutluluğun matematiksel tanımı" gibi, bir şeyi grafiksel olarak tanımlayan bir çizgidir. bunun herhangi bir noktasındaki (eğer zamana bağlı türev alıyorsak, herhangi bir "anındaki") değişim, eğri üzerinde spesifik olarak o noktadan bir sonraki noktaya geçerken ne kadar değişim geçirmemiz gerektiğidir. bunu tam olarak tespit etmek mümkün değildir, ancak o noktada grafiğe çizilen bir teğet, tıpkı bir "kaydırak" görevi görecek ve dikkate aldığımız noktadan, bir sonraki noktaya olan gidişatı belirleyecektir. o kaydırak ne kadar "dik" ise, o kadar hızlı bir değişim var demektir: çünkü dik bir kaydıraktan, hızlı bir şekilde kayabilirsiniz. değişim, çok hızlı olur. o teğet ne kadar yataysa, değişim o kadar azdır. çünkü yatay bir kaydırakta çok yavaş ilerleyebilirsiniz, konumunuzun değişimi çok azdır! yani gerçek hayattaki bir kaydırak, sizin bir noktadan bir sonraki noktaya gidişinizi gösteren bir türev eğrisi gibi düşünülebilir.

integral ise, bir eğrinin altında kalan her şeyin toplamıdır. zaten tanımı gereği, integralin "iki aralık arasında değişen bir değişkenin toplamı" olarak izah edildiğini hatırlayın. bu sebeple, bir hız-zaman grafiğinin yatay eksen ile arasındaki toplam alan, alınan toplam yolu verir. bunu iki açıdan düşünebilirsiniz: ilki, somut fiziktir. konum, hızın zamana göre integralidir. dolayısıyla hız grafiğinin altındaki alan, integrale denk geldiğinden, toplam konumu verir. anlaması, lisedeki gibi zor, değil mi? ancak ikinci yöntem, integralin basamak basamak toplamak olduğunu düşünmektir. belli bir hızla hareket eden bir cisim, her saniye belli bir miktar yol kat eder. bu yolların toplamı, iki zaman sınırı arasında alınan toplam yola eşittir. işte bunu kolayca bulmanın yolu, grafiği tanımlayan matematiksel denklemin integralini almaktır. x eksenine göre (δx veya dx yazarak) integralini aldığınızda, x ekseni ile grafik arasında kalan alanı hesaplamış olursunuz. eğer grafiğiniz hız-zaman eğrisiyse bu size toplam alınan yolu verir.

kalkülüs'ün temel teoremi'ne göre türev ve integral birbirinin tersidir. dolayısıyla bir değişkenin önce integralini, sonra türevini alırsanız (ya da tam tersi), değişkenin kendisini elde edersiniz. aslında bu her zaman doğru değildir; integralin sınırları da önemlidir. ancak basitçe akılda tutmak için, bu kadar detaya ihtiyacınız şimdilik yok. ikisini birbirinin tersi olarak görebilirsiniz.