variation of parameters

2. yada daha yüksek dereceden bir non-homogeneous denklemin general solutionını bulmaya yarayan yöntemlerden birtanesidir. sözkonusu yöntemle, homojenliği bozan kısmı yoksayılarak bulunan general solution ın constant değerleri birer fonksiyon gibi düşünülür ve alınan türevlerden hebede he. meali aşağıda..


denklemimiz, y’’-2y’+y=e^t
hom.eq; y’’-2y’+y=0
ch.eq; r^2-2r-1=0
r=1, r=1..

general solution; y(t)=c(1)e^t+c(2)te^t dir.
y(t) fonksiyonunun bağımsız değişkenlerinic(1) ve c(2) biçiminde gösterdim. bu c(1) ve c(2) yi a(t) ve b(t) gibi iki fonksiyonla değiştirip, y(t) nin 2 ayrı türevini aldığımda aşağıdaki gibi şeyler olucak.

y’=a*e^t + b*te^t + b*e^t + [a’*e^t+b’*te^t]
köşeli parantez içinde yazılan kısım 0a eşit olduğu için o kısımı kenara koyucaz şimdilik.
y’’= a*e^t + b*te^t + b*e^t + b*e^t + [a’*e^t + b’*te^t + b’*e^t]
ve bir önceki ve bu türevden elimize gelen köşeli parantez içindeki denklemi ortak çözücez.

[a’*e^t+b’*te^t]=0
[a’*e^t + b’*te^t + b’*e^t] = e^t eğer hiçbir işlem hatası yapmadıysam süperim demektir. bu ortak çözümden sonra a’ ve b’ ı bulup bunların t ye göre integralini alır, a ve b nin gerçek değerlerini bulursak, ve bunları y(t) içinde yerlerine yazarsak sonucu buluruz.